Zagadka: narciarze

Dwóch takich samych narciarzy zjeżdża po takim samym podłożu po krzywych 1 i 2 (rzut z boku). Różnica wysokości i przemieszczenie w poziomie są takie same. Narciarze zaczynają z zerową prędkością, nie odpychają się ani nie robią żadnych sprytnych ruchów przyspieszająco-hamujących. A jak ktoś nie lubi narciarzy, to może mieć dwie kulki staczające się po twardym podłożu. Opory pomijamy. Który pierwszy dojedzie do swojego punktu B i dlaczego?

Zagadka wyszła trochę bardziej skomplikowana, niż mi się na początku wydawało.

Odpowiedź krótka: drugi narciarz dojedzie wcześniej, bo wcześniej nabierze prędkości.

Odpowiedź szczegółowa:

Obierzmy na trasie narciarza punkt E w połowie przemieszczenia poziomego i wprowadźmy parametr p oznaczający stosunek różnicy wysokości AE do różnicy wysokości AB.

Fakty:

• prędkość w punkcie E z z.z.E: vE=sqrt(2gph)
• prędkość w punkcie B z z.z.E: vB=sqrt(2gh)
• z drugiej strony znamy przyspieszenie na odcinku AE, więc możemy wprowadzić czas jazdy tAE na odcinku AE: vE=gph/a*tAE
• analogicznie na odcinku EB: vB=vE+g(1-p)h/b*tEB
• t=tAE+tEB
• a=sqrt(hhpp+xx), b=sqrt(hh(1-p)(1-p)+xx)

Z powyższych wzorów można wyprowadzić wzór na czas w zależności od p: t(p), policzyć pochodną dt/dp i pokazać, że dla p=1/2 (przypadek gdy narciarz zjeżdża po prostej) pochodna jest ujemna, więc t(p) jest malejąca, więc t zmaleje gdy p wzrośnie, więc opłaca się obniżyć punkt E.

A skoro tak, to dalej opłaca się odcinki AE i EB dzielić w połowie przemieszczenia poziomego punktem F i obniżać punkt F i tak z indukcji matematycznej wklęsła trasa się opłaca bardziej niż prosta, mimo nadrobienia drogi.

A jak bardzo wklęsła się opłaca najbardziej? - tego na razie w prosty sposób nie umiem pokazać, bo dt/dp wyszło za skomplikowane, żeby znaleźć miejsce zerowe ;-) Jeśli ktoś ma pomysł, to śmiało ;-)

W miarę łatwo można pokazać, że t(1/2)>t(1) dla h<5x. W zwykłych trasach h<2x, a najczęściej h<x/2, więc intuicja mówi mi, że niekiedy może się opłacać punkt E obniżyć nawet poniżej punktu B!

Michał: brachistochroma to krzywa, po której czas staczania się masy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) jest najkrótszy.